Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{5 x}{3 \sin (x)}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{5}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 2.1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{5}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{5}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{5}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{5}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$\frac{5}{3} \sec (0)$

Paso 5.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $1$ .

$\frac{5}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{3}$

Forma decimal:

$1.\overline{6}$