Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\tan (x^{2})}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Paso 1.2

Reescribe $\sec (x - 1)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x - 1)}}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Paso 1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x - 1)} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (x - 1)}$ a $\sec (x - 1)$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Paso 1.4.2

Convierte de $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ a $\cot (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cot (x^{2})$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\sec (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Paso 4

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x^{2})$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la izquierda, los valores de la función aumentan sin cota.

$\infty$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x^{2})$

Paso 7

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función aumentan sin cota.

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot \infty$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sec (0 - 1) \cdot \infty$

Paso 8.2

Resta $1$ de $0$ .

$\sec (- 1) \cdot \infty$

Paso 8.3

Evalúa $\sec (- 1)$ .

$1.00015232 \cdot \infty$

Paso 8.4

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\infty$