Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (x)}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{x^{2} + 1}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) \cos (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) \cos (x)}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) \cos (x)}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Separa las fracciones.

$\frac{1}{0^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 4.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$\frac{1}{0^{2} + 1} \sec (0)$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{0 + 1} \sec (0)$

Paso 4.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{1} \sec (0)$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1} \sec (0)$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$1 \sec (0)$

Paso 4.5

Multiplica $\sec (0)$ por $1$ .

$\sec (0)$

Paso 4.6

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1$