Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\arctan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.2.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\arctan (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Combina los términos.

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Paso 1.3.5.1.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.5.1.2

Combina $- 1$ y $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.5.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$ por $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Paso 2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Paso 3.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite de $1 - (1 + x^{2})$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0)}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Paso 3.1.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Paso 3.1.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 3.1.3.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 3.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 3.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot 0^{2}}$

Paso 3.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.7.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 1) \cdot 0^{2}}$

Paso 3.1.3.7.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0^{2}}$

Paso 3.1.3.7.3

Multiplica $0^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Paso 3.1.3.7.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.7.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - (1 + x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (1 + x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.4.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.5

Resta $2 x$ de $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \cdot 2 x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Paso 3.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 \cdot (x^{2} + 1) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Paso 3.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 3.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 3.3.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + 0)}$

Paso 3.3.12

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} \cdot 2 x}$

Paso 3.3.13

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.13.1

Mueve $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.13.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.13.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.13.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1 + 2} \cdot 2}$

Paso 3.3.13.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{3} \cdot 2}$

Paso 3.3.14

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot x^{3}}$

Paso 3.3.15

Simplifica.

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Paso 3.3.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 x^{3}}$

Paso 3.3.15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Paso 3.3.15.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.15.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1} x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Paso 3.3.15.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Paso 3.3.15.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Paso 3.3.15.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}$

Paso 3.3.15.3.5

Suma $2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 x^{3} + 2 x}$

Paso 4

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 5.1.3.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 5.1.3.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 5.1.3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 5.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0}$

Paso 5.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 5.1.3.6.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Paso 5.1.3.6.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 0}$

Paso 5.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Paso 5.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.3.4.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.3.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \cdot 1}$

Paso 5.3.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 6.4

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 6.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 6.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}$

Paso 7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Paso 8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Paso 8.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0 + 2}$

Paso 8.3.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 2}$

Paso 8.3.3

Suma $0$ y $2$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3}$

Paso 8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$