Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\sec (2 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \sec (2 x)}$

Paso 1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 \cdot 0)}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $1$ .

$1$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 \cdot 0)}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reescribe $\sec (2 \cdot 0)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}}$

Paso 9.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ .

$1 \cos (2 \cdot 0)$

Paso 9.3

Multiplica $\cos (2 \cdot 0)$ por $1$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Paso 9.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$\cos (0)$

Paso 9.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1$