Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

Paso 1

Evalúa el límite de $\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} - 3^{- 1}}{h}$

Paso 2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} - \frac{1}{3}}{h}$

Paso 2.1.3

Para escribir $\frac{1}{3 + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{h}$

Paso 2.1.4

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 + h}{3 + h}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

Paso 2.1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 + h) \cdot 3$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $\frac{1}{3 + h}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3 + h}{3 + h}$ .

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

Paso 2.1.5.3

Reordena los factores de $(3 + h) \cdot 3$ .

$\frac{\frac{3}{3 (3 + h)} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

Paso 2.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}}{h}$

Paso 2.1.7

Reescribe $\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Paso 2.1.7.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Paso 2.1.7.3

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{0 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Paso 2.1.7.4

Resta $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- h}{3 (3 + h)}}{h}$

Paso 2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{h}{3 (3 + h)}}{h}$

Paso 2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{h}{3 (3 + h)}$ al numerador.

$\frac{- h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.3.2

Factoriza $h$ de $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3 (3 + h)}$

Paso 2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 (3 + h)}$