Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Paso 3

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $π$ y $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

Paso 7.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 7.2.2

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Paso 7.2.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el seno es positivo en el primer cuadrante.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 7.2.4

Simplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Paso 7.2.4.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 7.2.4.5

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.2.4.5.1

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 7.2.4.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Paso 7.2.4.6

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 7.2.4.7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.4.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 7.2.4.7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Paso 7.3.3

Reescribe la expresión.

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$3.06146745 \dots$