Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} - \frac{1}{x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\ln (x + 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $\ln (x + 1) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1)} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 - \ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.6.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.6.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Paso 2.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Paso 2.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Paso 2.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1)}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.6.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1)}$

Paso 2.1.3.6.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.6.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \ln (x + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x + 1)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.4.7

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.5

Combina los términos.

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Paso 2.3.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1 - 1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.5.3

Resta $1$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 0}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.5.4

Suma $x$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{1}{x + 1}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.12

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.13

Multiplica $\frac{x}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1}$

Paso 2.3.15

Multiplica $\ln (x + 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1)}$

Paso 2.3.16

Para escribir $\ln (x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 2.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 2.3.18

Simplifica.

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Paso 2.3.18.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.18.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.18.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1}{x + 1}}$

Paso 2.3.18.1.1.2

Multiplica $\ln (x + 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 2.3.18.1.2

Reordena los factores en $x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + x \ln (x + 1) + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 2.3.18.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{x}{x + 1}$ por $\frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Paso 3.1.3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Paso 3.1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Paso 3.1.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Paso 3.1.3.6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Paso 3.1.3.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Paso 3.1.3.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Paso 3.1.3.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Paso 3.1.3.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Paso 3.1.3.9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Paso 3.1.3.9.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

Paso 3.1.3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.10.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

Paso 3.1.3.10.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

Paso 3.1.3.10.1.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

Paso 3.1.3.10.1.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (1)}$

Paso 3.1.3.10.1.5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Paso 3.1.3.10.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 3.1.3.10.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.10.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.11

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$ .

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Paso 3.3.4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.7

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.8

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.9

Combina $x$ y $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.10

Multiplica $\ln (x + 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.11

Para escribir $\ln (x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.4.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Paso 3.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

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Paso 3.3.6.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.3.6.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 3.3.6.1.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 3.3.6.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Paso 3.3.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 3.3.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 3.3.6.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

Paso 3.3.6.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Paso 3.3.6.6

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1}}$

Paso 3.3.7

Simplifica.

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Paso 3.3.7.1

Combina los términos.

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Paso 3.3.7.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1) + x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.1.3

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1 + 1}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 + 2 x + 2}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.2.2

Multiplica $\ln (x + 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.2.3

Reescribe $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2$ en forma factorizada.

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Paso 3.3.7.2.3.1

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x \ln (x + 1) + 2 x + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.7.2.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x \ln (x + 1) + 2 x) + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.2.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x (\ln (x + 1) + 2) + 1 (\ln (x + 1) + 2)}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.2.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\ln (x + 1) + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.3

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.3.7.3.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

Paso 3.3.7.3.2

Divide $\ln (x + 1) + 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1) + 2}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 4.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 4.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 4.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{\ln (0 + 1) + 2}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{\ln (1) + 2}$

Paso 6.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Paso 6.3

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$