Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Paso 9.1.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})}$

Paso 9.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Paso 9.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Paso 9.2.4

Reescribe $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ en forma factorizada.

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Paso 9.2.4.1

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 9.2.4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.2.4.2.1

Reduce la expresión $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Paso 9.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

Paso 9.2.4.2.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3

Divide $0$ por $\sqrt{2}$ .

$0$