Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\cot (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{4})}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Paso 1.1.3.3.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Paso 1.3.5

Resta $\sec^{2} (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.6.2

La derivada de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 1.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 1.3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1}$

Paso 1.3.10

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{- 2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\csc^{2} (2 x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Paso 2.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Paso 2.6

Mueve el exponente $2$ de $\csc^{2} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (2 x))}^{2}}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la cosecante es continua.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Paso 2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{1 (- \sec^{2} (\frac{π}{4}))}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Paso 4.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Paso 4.3.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1^{2}}$

Paso 4.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2^{1}}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.4.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2}$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2}{- 2}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 4.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2}{- 2}$

Paso 4.7.2

Reescribe la expresión.

$1$