Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{x - \frac{π}{3}}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{x \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}}$

Paso 1.2

Combina $x$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{x \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{x \cdot 3 - π}{3}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} (\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{3}{x \cdot 3 - π}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to {(\frac{π}{3})}^{-}} (\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{3}{x \cdot 3 - π}$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $(\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{3}{x \cdot 3 - π}$ a medida que $x$ se acerca a $\frac{π}{3}$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{3}{x \cdot 3 - π} \\ 0.94719755 & 0.54243228 \\ 1.03719755 & 0.50432175 \\ 1.04619755 & 0.50043292 \\ 1.04709755 & 0.5000433 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $\frac{π}{3}$ , los valores de la función se acercan a $0.5$ . Por lo tanto, el límite de $(\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{3}{x \cdot 3 - π}$ a medida que $x$ se acerca a $\frac{π}{3}$ desde la izquierda es $0.5$ .

$0.5$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to {(\frac{π}{3})}^{+}} (\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{3}{x \cdot 3 - π}$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $(\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{3}{x \cdot 3 - π}$ a medida que $x$ se acerca a $\frac{π}{3}$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}) \frac{3}{x \cdot 3 - π} \\ 1.14719755 & 0.45590188 \\ 1.05719755 & 0.49566157 \\ 1.04819755 & 0.4995669 \\ 1.04729755 & 0.49995669 \end{array}$

Paso 8

$0.5$