Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Paso 1.2

Reescribe $\tan (4 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Paso 1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Convierte de $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ a $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 1.4.2

Convierte de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Paso 4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Paso 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

Paso 6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Paso 8.1.3

Reescribe la expresión.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Paso 8.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Paso 8.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Paso 8.4

Combina $5$ y $\frac{π}{2}$ .

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

Paso 8.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Paso 8.6

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 \cdot 0$

Paso 8.7

Multiplica $0$ por $0$ .

$0$