Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \frac{π}{2}} \frac{\cos (8 x)}{2 x - \sin (\cos (x))}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Paso 3

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Paso 5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (x))}$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$\frac{\cos (8 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{\cos (2 (4) \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (2 \cdot 4 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (4 (- π))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\cos (- 4 π)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.1.3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\cos (0)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Paso 9.2.2

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{3 π}{2}))}$

Paso 9.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{π}{2}))}$

Paso 9.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{1}{- π - \sin (0)}$

Paso 9.2.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{- π - 0}$

Paso 9.2.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{- π + 0}$

Paso 9.2.7

Suma $- π$ y $0$ .

$\frac{1}{- π}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 9.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- π}$

Paso 9.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{π}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{π}$

Forma decimal:

$- 0.31830988 \dots$