Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{x + \frac{π}{2}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{2}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $\frac{π}{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$ por $\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}$ .

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

Paso 11.1.2

Combinar.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Paso 11.3

Simplifica mediante la cancelación.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Cancela el factor común de $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1.1

Factoriza $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ de $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} (2) \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Paso 11.3.1.2

Cancela el factor común.

Paso 11.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.2.1

Factoriza $2$ de $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Paso 11.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.3.1

Factoriza $2$ de $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

Paso 11.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

Paso 11.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{1} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{2 + 1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.4.3

Multiplica $1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.4.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.4.4

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{1 π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.5.3

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{0}{π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Paso 11.5.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{0}{π + \sqrt{1} π}$

Paso 11.5.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{π + 1 π}$

Paso 11.5.6

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{0}{π + π}$

Paso 11.5.7

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{0}{2 π}$

Paso 11.6

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 π}$

Paso 11.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.6.2.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (0)}{2 (π)}$

Paso 11.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Paso 11.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{π}$

Paso 11.7

Divide $0$ por $π$ .

$0$