Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - 8 \cos (x)}{2 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - 8 \cos (x)}{x}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 5

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} ((1 - 8 \cos (\frac{π}{2})) \frac{2}{π})$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{1}{2} ((1 - 8 \cdot 0) \frac{2}{π})$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$\frac{1}{2} ((1 + 0) \frac{2}{π})$

Paso 8.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (1 \frac{2}{π})$

Paso 8.4

Multiplica $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Paso 8.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{π}$

Forma decimal:

$0.31830988 \dots$