Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \ln (\sin (x))$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Paso 3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{x}{2}} \sin (x))$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{x}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{x}{2}$ para $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{x}{2}$ para $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Reescribe $\tan (\frac{x}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Paso 6.2

Combina $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ y $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2}) \ln (\sin (\frac{x}{2}))}{\cos (\frac{x}{2})}$

Paso 6.3

Separa las fracciones.

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Paso 6.4

Convierte de $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ a $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \tan (\frac{x}{2})$

Paso 6.5

Divide $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ por $1$ .

$\ln (\sin (\frac{x}{2})) \tan (\frac{x}{2})$