Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to (- 8)} \frac{4 + 6 e^{2 x}}{5 - 9 e^{3 x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $(- 8)$ .

$\frac{lim_{x \to (- 8)} 4 + 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $(- 8)$ .

$\frac{lim_{x \to (- 8)} 4 + lim_{x \to (- 8)} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $(- 8)$ .

$\frac{4 + lim_{x \to (- 8)} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Paso 4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 + 6 lim_{x \to (- 8)} e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Paso 5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 + 6 e^{lim_{x \to (- 8)} 2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $(- 8)$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - lim_{x \to (- 8)} 9 e^{3 x}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $(- 8)$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - lim_{x \to (- 8)} 9 e^{3 x}}$

Paso 9

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 lim_{x \to (- 8)} e^{3 x}}$

Paso 10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 e^{lim_{x \to (- 8)} 3 x}}$

Paso 11

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 e^{3 lim_{x \to (- 8)} x}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $(- 8)$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $(- 8)$ para $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 (- 8)}}{5 - 9 e^{3 lim_{x \to (- 8)} x}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $(- 8)$ para $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 (- 8)}}{5 - 9 e^{3 (- 8)}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{4 + 6 e^{- 16}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Paso 13.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 + 6 \frac{1}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Paso 13.1.3

Combina $6$ y $\frac{1}{e^{16}}$ .

$\frac{4 + \frac{6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Paso 13.1.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{16}}{e^{16}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16}}{e^{16}} + \frac{6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Paso 13.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{- 24}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 \frac{1}{e^{24}}}$

Paso 13.2.3

Combina $- 9$ y $\frac{1}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 + \frac{- 9}{e^{24}}}$

Paso 13.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - \frac{9}{e^{24}}}$

Paso 13.2.5

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{\frac{5 e^{24}}{e^{24}} - \frac{9}{e^{24}}}$

Paso 13.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{\frac{5 e^{24} - 9}{e^{24}}}$

Paso 13.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{24}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.4

Cancela el factor común de $e^{16}$ .

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Paso 13.4.1

Factoriza $e^{16}$ de $e^{24}$ .

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{16} e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{16} e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.4.3

Reescribe la expresión.

$(4 e^{16} + 6) \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 e^{16} \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.6

Multiplica $4 e^{16} \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ .

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Paso 13.6.1

Combina $\frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ y $4$ .

$\frac{e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} e^{16} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.6.2

Combina $\frac{e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9}$ y $e^{16}$ .

$\frac{e^{8} \cdot 4 e^{16}}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.6.3

Multiplica $e^{8}$ por $e^{16}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.6.3.1

Mueve $e^{16}$ .

$\frac{e^{16} e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.6.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{16 + 8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.6.3.3

Suma $16$ y $8$ .

$\frac{e^{24} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.7

Combina $6$ y $\frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ .

$\frac{e^{24} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + \frac{6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{24} \cdot 4 + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 13.9

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{24}$ .

$\frac{4 e^{24} + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4 e^{24} + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Forma decimal:

$0.80000013 \dots$