Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x - 2}{4 x^{2} + 1}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x - 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 1}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 1}$

Paso 3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 1}$

Paso 4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 1}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Paso 6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} + 1}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{4 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 2}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} + 1}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{4 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\frac{4 (\frac{- 1}{2}) - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Paso 10.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{- 1}{2} - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Paso 10.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Paso 10.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Paso 10.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Paso 10.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Paso 10.1.4

Resta $2$ de $- 2$ .

$\frac{- 4}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 10.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1}$

Paso 10.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1}$

Paso 10.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 4}{4 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1}$

Paso 10.2.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{- 4}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1}$

Paso 10.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 4}{4 \frac{1}{2^{2}} + 1}$

Paso 10.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 4}{4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Paso 10.2.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4}{4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Paso 10.2.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Paso 10.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Paso 10.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$- 2$