Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 1.2

Combina $x$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.7

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.9

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.11.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.11.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.11.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0 \cdot (6 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.11.4.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{0 \cdot (2 (3) \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{0 \cdot (3 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4.5

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.4.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{3 + 1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.6

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{4}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.7

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{0 \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.8

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.2.11.9

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Paso 2.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Paso 2.1.3.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Paso 2.1.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Paso 2.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Paso 2.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 2.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 2.1.3.7.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 2.1.3.7.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 2.1.3.7.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.3.7.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 2.1.3.7.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Paso 2.1.3.7.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.7.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} + 1}$

Paso 2.1.3.7.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} + 1}$

Paso 2.1.3.7.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

Paso 2.1.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Paso 2.1.3.7.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.7.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{2 x - 1}{2}$ y $g (x) = 6 x^{2} + x - 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 2] + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} + x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.5

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + 0) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.10

Suma $12 x + 1$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.11

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x - 1}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.13

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.15

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.16

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.17

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.18

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.19

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.19.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.19.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.20

Multiplica $6 x^{2} + x - 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x) + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.2.1

Combina $12$ y $\frac{2 x - 1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1)}{2} x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.2

Combina $\frac{12 (2 x - 1)}{2}$ y $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.3

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.2.3.1

Factoriza $2$ de $12 (2 x - 1) x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 (1)} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 \cdot 1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x}{1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.3.2.4

Divide $6 (2 x - 1) x$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.4

Multiplica $\frac{2 x - 1}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.5

Para escribir $6 (2 x - 1) x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.6

Combina $6 (2 x - 1) x$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2 + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.8

Multiplica $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.9

Para escribir $6 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.10

Combina $6 x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + \frac{6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.12

Multiplica $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.13

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.14

Combina $x$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.16

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + 2 \cdot x}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.17

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.18

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.19

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.21

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 4}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.2.22

Resta $4$ de $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x + 12 x^{2} - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x - 1) + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.21.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.3

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.21.4.4.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.21.4.4.1.1

Mueve $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 (x \cdot x) - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.4.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 24 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.5

Suma $12 x^{2}$ y $24 x^{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.6

Suma $- 12 x$ y $4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.21.4.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 36 \cdot - 5 = - 180$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 2.3.21.4.7.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 (x) - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.7.1.2

Reescribe $- 8$ como $10$ más $- 18$

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + (10 - 18) x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + 10 x - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.21.4.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(36 x^{2} + 10 x) - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x (18 x + 5) - (18 x + 5)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.21.4.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $18 x + 5$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Paso 2.3.22

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 2.3.23

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.23.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 2.3.23.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 2.3.23.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 2.3.24

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.3.24.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 2.3.24.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 2.3.24.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 2.3.25

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + 0}$

Paso 2.3.26

Suma $8 x - 4$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2} \cdot \frac{1}{8 x - 4}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}$ por $\frac{1}{8 x - 4}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2 (8 x - 4)}$

Paso 3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} (18 x + 5) (2 x - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + 5 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.3

Mueve el término $18$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.4

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.9.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.9.1.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 (9) \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 \cdot 9 \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(9 + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9.2

Suma $9$ y $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.9.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.9.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.2.9.5

Multiplica $14$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

Paso 4.1.3.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 (4) \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.3.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 4 \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.3.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 4}$

Paso 4.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 18 x + 5$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.8

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $18 x + 5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (18 x + 5) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $18 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.11

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.13

Multiplica $18$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.14

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + 0)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.15

Suma $18$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) \cdot 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.16

Mueve $18$ a la izquierda de $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + 18 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.17

Simplifica.

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Paso 4.3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.17.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.17.3.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.17.3.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.17.3.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.17.3.4

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.17.3.5

Suma $36 x$ y $36 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x + 10 - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.17.3.6

Resta $18$ de $10$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Paso 4.3.18

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 4.3.19

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 4.3.19.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 4.3.19.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 4.3.19.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 4.3.20

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + 0}$

Paso 4.3.21

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $72 x - 8$ y $8$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $8$ de $72 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x - 8}{8}$

Paso 4.4.2

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x + 8 \cdot - 1}{8}$

Paso 4.4.3

Factoriza $8$ de $8 (9 x) + 8 (- 1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8}$

Paso 4.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.4.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 (1)}$

Paso 4.4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 \cdot 1}$

Paso 4.4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{9 x - 1}{1}$

Paso 4.4.4.4

Divide $9 x - 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - 1$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

Paso 5.2

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{1}{2} (9 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Combina $9$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot 1)$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1)$

Paso 7.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 7.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 2}{2}$

Paso 7.5.2

Resta $2$ de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 7.6

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$ .

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Paso 7.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 2}$

Paso 7.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{4}$

Forma decimal:

$1.75$