Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x + 1}{6 x^{2} + 3 x}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Paso 4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Paso 6

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Paso 8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Paso 9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{6 \frac{1}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{6 (\frac{1}{4}) + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2}{2 (3) \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3 (\frac{1}{2}) + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2.5

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Paso 10.2.6

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}$

Paso 10.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{\frac{3 + 3}{2}}$

Paso 10.2.8

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{2}{\frac{6}{2}}$

Paso 10.2.9

Divide $6$ por $2$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$