Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$ como $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$ .

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})$ ; para ello, mueve $\cot (4 x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Paso 3

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ mediante el ingreso de $(\frac{π}{4})$ para $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.2

Multiplica $4$ por cada elemento de la matriz.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.4

Reescribe $\cot ((π))$ en términos de senos y cosenos.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.6

Elimina los paréntesis.

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.7.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.7.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.8

Simplifica el denominador.

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Paso 3.8.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.8.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.8.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 3.9

Como $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Paso 5

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ mediante el ingreso de $(\frac{π}{4})$ para $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por cada elemento de la matriz.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.4

Reescribe $\cot ((π))$ en términos de senos y cosenos.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.5

Elimina los paréntesis.

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.6

Elimina los paréntesis.

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Paso 5.6.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.6.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.7.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.7.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.8

Simplifica el denominador.

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Paso 5.8.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.8.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.8.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Paso 5.9

Como $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 6

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$