Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Paso 1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1^{2}}}$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Paso 2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Paso 2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 2}}$

Paso 2.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}}$

Paso 2.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}$ como $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 2.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 2.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 2.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 2.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 2.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Paso 2.3.5.5

Simplifica.

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 2.4.2

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$