Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) - 1}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sec (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Suma $\sec (x) \tan (x)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

Paso 1.4

Divide $\sec (x) \tan (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sec (0) \cdot \tan (0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1 \cdot \tan (0)$

Paso 4.2

Multiplica $\tan (0)$ por $1$ .

$\tan (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$0$