Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\tan (x)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.3

Convierte de $\frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cos (2 x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cot (x)$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2} \cdot π$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} 2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Paso 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{2} \cdot π$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2} \cdot π$ para $x$ .

$\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot π)) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2} \cdot π$ para $x$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{1}{2} \cdot π)$

Paso 6.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Paso 7.1.2

Reescribe la expresión.

$\cos (π) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Paso 7.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (0) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Paso 7.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Paso 7.5

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 1 \cdot 0$

Paso 7.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$