Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{\sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 1.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 1.3.5.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Paso 1.3.5.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Paso 1.3.5.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\sin (2 x)}$

Paso 2

Como la función se acerca a $- \infty$ desde la izquierda y a $\infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$