Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 8}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} + 8}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Paso 1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} + 2^{3}}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 2^{2})}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Paso 1.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}}{4 x^{2} + \sqrt{3 x^{4} + 1}}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt[3]{x^{6}} = x^{2} = - \sqrt{x^{4}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

Paso 3.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{3 + \frac{1}{x^{4}}}}$

Paso 4

Como $- \infty$ no está en el dominio de $\frac{\sqrt[3]{\frac{(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4)}{x^{6}}}}{4 - \sqrt{3 + \frac{1}{x^{4}}}}$ , el límite no existe.

$No existe$