Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Paso 1

Evalúa el límite de $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Paso 2.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $7$ de $7 y$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $7$ como $1$ más $6$

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

Paso 2.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

Paso 2.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

Paso 2.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y + 1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Paso 2.4

Reduce la expresión $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

Paso 2.5

Reescribe $\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ como $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ por $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Paso 2.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ por $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

Paso 2.7.2

Eleva $\sqrt{2 y + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

Paso 2.7.3

Eleva $\sqrt{2 y + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

Paso 2.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

Paso 2.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

Paso 2.7.6

Reescribe ${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ como $2 y + 1$ .

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Paso 2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y + 1}$ como ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

Paso 2.7.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

Paso 2.8

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$