Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{8 \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 4.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + 2 x^{2}}}$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 2)}}$

Paso 4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$

Paso 4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ por $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}}$

Paso 4.4.2

Mueve $\sqrt{x + 2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2})}$

Paso 4.4.3

Eleva $\sqrt{x + 2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2})}$

Paso 4.4.4

Eleva $\sqrt{x + 2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1})}$

Paso 4.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{2}}$

Paso 4.4.7

Reescribe ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ como $x + 2$ .

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Paso 4.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{1}}$

Paso 4.4.7.5

Simplifica.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (x + 2)}$

Paso 4.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{16 \sqrt{(x + 2) \cdot 2}}{x (x + 2)}$

Paso 4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2 (x + 2)}}{x (x + 2)}$