Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \sqrt[4]{\frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Paso 3.2.2

Divide $16$ por $1$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Paso 3.5

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + 16}}$

Paso 7.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.2.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{0 + 1}{0 + 16}}$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{0 + 16}}$

Paso 7.2.3

Suma $0$ y $16$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Paso 7.2.4

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$

Paso 7.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Paso 7.2.6

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.6.1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Paso 7.2.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$