Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + h) - \sqrt{3}}{h}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $h$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + h \cdot \frac{3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Paso 1.2

Combina $h$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π}{3} + \frac{h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 3}{3}) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} lim_{h \to 0} π + h \cdot 3) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 3)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 3)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.7

Evalúa el límite de $\sqrt{3}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} (π + 0)) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{3} π) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $π$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.4

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $\sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3}) - \sqrt{3}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + h \cdot 3}{3})]$ .

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Paso 2.3.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (\frac{π + 3 \cdot h}{3})] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = \tan (h)$ y $g (h) = \frac{π + 3 h}{3}$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π + 3 h}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π + 3 h}{3}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{d}{d h} [\frac{π + 3 h}{3}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.3

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $\frac{π + 3 h}{3}$ con respecto a $h$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d h} [π + 3 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d h} [π + 3 h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $π + 3 h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [3 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [3 h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.5

Como $π$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $π$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + \frac{d}{d h} [3 h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.6

Como $3$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $3 h$ con respecto a $h$ es $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3 \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} (0 + 3)) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.9

Suma $0$ y $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 3) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{3}{3} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.11.1

Cancela el factor común.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \frac{3}{3} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.11.2

Reescribe la expresión.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.12

Multiplica $\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4

Como $- \sqrt{3}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \sqrt{3}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3}) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Suma $\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5.2

Reescribe $\sec (\frac{π + 3 h}{3})$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{π + 3 h}{3})})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{π + 3 h}{3})}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})} \cdot 1$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})}$

Paso 3.3

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (\frac{π + 3 h}{3})$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + 3 h}{3}))}^{2}}$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} \frac{π + 3 h}{3})}$

Paso 3.5

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} lim_{h \to 0} π + 3 h)}$

Paso 3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} 3 h))}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + lim_{h \to 0} 3 h))}$

Paso 3.8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 lim_{h \to 0} h))}$

Paso 4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$ como ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))})}^{2}$

Paso 5.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))}$ a $\sec (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{3} (π + 3 \cdot 0))$

Paso 5.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{3} (π + 0))$

Paso 5.5

Suma $π$ y $0$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{3} π)$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 5.7

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$2^{2}$

Paso 5.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4$