Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Combina los términos opuestos en ${(x + 0)}^{2} - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h^{2}} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.3

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x (x + h) + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.4.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.4.2

Suma $x h$ y $h x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + h x + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.4.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.6

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 h x$ con respecto a $h$ es $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.9

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.10.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.10.1.1

Suma $0$ y $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.10.1.2

Suma $2 x + 2 h$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.10.2

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h^{2}]}$

Paso 1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{2 h}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2 h + 2 x$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (h) + 2 x}{2 h}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (h) + 2 (x)}{2 h}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (h) + 2 (x)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x)}{2 h}$

Paso 1.4.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.4.1

Factoriza $2$ de $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x)}{2 (h)}$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x)}{2 h}$

Paso 1.4.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{h \to 0} \frac{h + x}{h}$

Paso 2

Como la función se acerca a $\infty$ desde la izquierda y a $- \infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$