Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} \frac{5 n}{\sqrt{n + 6}}$

Paso 1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$5 lim_{n \to 8} \frac{n}{\sqrt{n + 6}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 6}}$

Paso 3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 6}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$5 \frac{lim_{n \to 8} n}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 6}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{8 + 6}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Suma $8$ y $6$ .

$5 \frac{8}{\sqrt{14}}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{14}}$ por $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$5 (\frac{8}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}})$

Paso 7.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{14}}$ por $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{\sqrt{14} \sqrt{14}}$

Paso 7.3.2

Eleva $\sqrt{14}$ a la potencia de $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} \sqrt{14}}$

Paso 7.3.3

Eleva $\sqrt{14}$ a la potencia de $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} {\sqrt{14}}^{1}}$

Paso 7.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2}}$

Paso 7.3.6

Reescribe ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

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Paso 7.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14^{1}}$

Paso 7.3.6.5

Evalúa el exponente.

$5 \frac{8 \sqrt{14}}{14}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $8$ y $14$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $2$ de $8 \sqrt{14}$ .

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{14}$

Paso 7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{2 (7)}$

Paso 7.4.2.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{2 (4 \sqrt{14})}{2 \cdot 7}$

Paso 7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$5 \frac{4 \sqrt{14}}{7}$

Paso 7.5

Multiplica $5 \frac{4 \sqrt{14}}{7}$ .

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Paso 7.5.1

Combina $5$ y $\frac{4 \sqrt{14}}{7}$ .

$\frac{5 (4 \sqrt{14})}{7}$

Paso 7.5.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{20 \sqrt{14}}{7}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{20 \sqrt{14}}{7}$

Forma decimal:

$10.69044967 \dots$