Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} \frac{3 n^{2} + 4 n + 1}{\sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + 4 n + 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Paso 3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{3 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $n^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Paso 5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} \sqrt{9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Paso 7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{lim_{n \to 8} 9 n^{4} + n^{3} + n + 1}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{lim_{n \to 8} 9 n^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Paso 9

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 lim_{n \to 8} n^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Paso 10

Mueve el exponente $4$ de $n^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Paso 11

Mueve el exponente $3$ de $n^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

Paso 12

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 {(lim_{n \to 8} n)}^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Paso 13.4

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + lim_{n \to 8} n + 1}}$

Paso 13.5

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $3$ por $64$ .

$\frac{192 + 4 \cdot 8 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Paso 14.1.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{192 + 32 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Paso 14.1.4

Suma $192$ y $32$ .

$\frac{224 + 1}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Paso 14.1.5

Suma $224$ y $1$ .

$\frac{225}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

$\frac{225}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8^{3} + 8 + 1}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{225}{\sqrt{9 \cdot 4096 + 8^{3} + 8 + 1}}$

Paso 14.2.2

Multiplica $9$ por $4096$ .

$\frac{225}{\sqrt{36864 + 8^{3} + 8 + 1}}$

Paso 14.2.3

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{225}{\sqrt{36864 + 512 + 8 + 1}}$

Paso 14.2.4

Suma $36864$ y $512$ .

$\frac{225}{\sqrt{37376 + 8 + 1}}$

Paso 14.2.5

Suma $37376$ y $8$ .

$\frac{225}{\sqrt{37384 + 1}}$

Paso 14.2.6

Suma $37384$ y $1$ .

$\frac{225}{\sqrt{37385}}$

$\frac{225}{\sqrt{37385}}$

Paso 14.3

Multiplica $\frac{225}{\sqrt{37385}}$ por $\frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$ .

$\frac{225}{\sqrt{37385}} \cdot \frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$

Paso 14.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 14.4.1

Multiplica $\frac{225}{\sqrt{37385}}$ por $\frac{\sqrt{37385}}{\sqrt{37385}}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{\sqrt{37385} \sqrt{37385}}$

Paso 14.4.2

Eleva $\sqrt{37385}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1} \sqrt{37385}}$

Paso 14.4.3

Eleva $\sqrt{37385}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1} {\sqrt{37385}}^{1}}$

Paso 14.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{1 + 1}}$

Paso 14.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{\sqrt{37385}}^{2}}$

Paso 14.4.6

Reescribe ${\sqrt{37385}}^{2}$ como $37385$ .

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Paso 14.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{37385}$ como $37385^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{{(37385^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 14.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 14.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{2}{2}}}$

Paso 14.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{\frac{2}{2}}}$

Paso 14.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{1}}$

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385^{1}}$

Paso 14.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385}$

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385}$

$\frac{225 \sqrt{37385}}{37385}$

Paso 14.5

Cancela el factor común de $225$ y $37385$ .

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Paso 14.5.1

Factoriza $5$ de $225 \sqrt{37385}$ .

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{37385}$

Paso 14.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.5.2.1

Factoriza $5$ de $37385$ .

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{5 (7477)}$

Paso 14.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (45 \sqrt{37385})}{5 \cdot 7477}$

Paso 14.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{45 \sqrt{37385}}{7477}$

Forma decimal:

$1.16368068 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$