Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 4} t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe $t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ como $e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$ .

$lim_{t \to 4} e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})$ ; para ello, mueve $2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ fuera del logaritmo.

$lim_{t \to 4} e^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{t \to 4} 2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $4$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $\frac{3}{2}$ de ${(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $4$ .

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Paso 2.6

Mueve el exponente $2$ de $t^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Paso 2.7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $t$ se acerca a $4$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Paso 2.9

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $4$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $4$ para $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $4$ para $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $4$ para $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e^{2 {(16 - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$e^{2 {(16 - 12 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.2

Resta $12$ de $16$ .

$e^{2 {(4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.3

Suma $4$ y $4$ .

$e^{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.4

Multiplica $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$e^{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.4.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 4.4.2.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.4.2.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{2^{1 + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$e^{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{2^{\frac{2 + 9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Paso 4.4.6

Suma $2$ y $9$ .

$e^{2^{\frac{11}{2}} \cdot \ln (4)}$

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Forma decimal:

$1.7624831 \cdot 10^{27}$