Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{2}}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{1}{6} lim_{n \to 8} \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{n^{2}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{n \to 8} (n + 1) (2 n + 1)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} 2 n + 1}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} 2 n + 1}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} 2 n + 1}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot (lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 1)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Paso 7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot (2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot (2 lim_{n \to 8} n + 1)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $n^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot (2 lim_{n \to 8} n + 1)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(8 + 1) \cdot (2 lim_{n \to 8} n + 1)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 + 1)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{(8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 + 1)}{8^{2}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Combinar.

$\frac{1 ((8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 + 1))}{6 \cdot 8^{2}}$

Paso 11.2

Multiplica $8 + 1$ por $1$ .

$\frac{(8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6 \cdot 8^{2}}$

Paso 11.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6 \cdot 64}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.1

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{9 (2 \cdot 8 + 1)}{6 \cdot 64}$

Paso 11.4.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{9 (16 + 1)}{6 \cdot 64}$

Paso 11.4.3

Suma $16$ y $1$ .

$\frac{9 \cdot 17}{6 \cdot 64}$

Paso 11.5

Multiplica $6$ por $64$ .

$\frac{9 \cdot 17}{384}$

Paso 11.6

Multiplica $9$ por $17$ .

$\frac{153}{384}$

Paso 11.7

Cancela el factor común de $153$ y $384$ .

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Paso 11.7.1

Factoriza $3$ de $153$ .

$\frac{3 (51)}{384}$

Paso 11.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.7.2.1

Factoriza $3$ de $384$ .

$\frac{3 \cdot 51}{3 \cdot 128}$

Paso 11.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 51}{3 \cdot 128}$

Paso 11.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{51}{128}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{51}{128}$

Forma decimal:

$0.3984375$