Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 1000000} {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$ como $e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$ .

$lim_{n \to 1000000} e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2 n + 1}$ fuera del logaritmo.

$lim_{n \to 1000000} e^{\frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $1000000$ .

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $1000000$ .

$e^{\frac{lim_{n \to 1000000} 1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $1000000$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $1000000$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

Paso 2.8

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + n)}$

Paso 2.9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Paso 2.10

Mueve el exponente $2$ de $n^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1000000$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $1000000$ para $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $1000000$ para $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $1000000$ para $n$ .

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Paso 4.1.2

Suma $2000000$ y $1$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

Paso 4.2

Eleva $1000000$ a la potencia de $2$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000000000 + 1000000)}$

Paso 4.3

Suma $1000000000000$ y $1000000$ .

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000001000000)}$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{2000001}$ y $\ln (1000001000000)$ .

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

Forma decimal:

$1.00001381 \dots$