Cálculo Ejemplos

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de ${(k + 1)}^{k + 1}$ y $k + 1$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $k + 1$ de ${(k + 1)}^{k + 1}$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $k + 1$ de $(k + 1) i$ .

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $k$ se aproxima a $8$ .

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 1.3

Mueve el término $\frac{1}{i}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $k$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(k + 1)}^{k}$ como $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ .

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(k + 1)}^{k})$ ; para ello, mueve $k$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $k$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $k$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $k$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

Paso 3.6

Mueve el término $i$ fuera del límite porque es constante con respecto a $k$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

Paso 3.7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $k$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

Paso 4

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 4.1

Reescribe $k^{k}$ como $e^{\ln (k^{k})}$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

Paso 4.2

Expande $\ln (k^{k})$ ; para ello, mueve $k$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $k$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

Paso 5.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $k$ .

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Paso 6.1