Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Paso 2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

Paso 3

Combina los términos.

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Paso 3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$

Paso 4

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 4.1

Reescribe ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ como $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}}$

Paso 4.2

Expande $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

Paso 5.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Paso 5.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Paso 5.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{9}{8})}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Simplifica $8 \cdot \ln (\frac{9}{8})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{e^{\ln ({(\frac{9}{8})}^{8})}}$

Paso 7.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{{(\frac{9}{8})}^{8}}$

Paso 7.2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{9^{8}}{8^{8}}}$

Paso 7.2.4

Eleva $9$ a la potencia de $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{8^{8}}}$

Paso 7.2.5

Eleva $8$ a la potencia de $8$ .

$\frac{1}{\frac{43046721}{16777216}}$

Paso 7.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{16777216}{43046721})$

Paso 7.4

Multiplica $\frac{16777216}{43046721}$ por $1$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{16777216}{43046721}$

Forma decimal:

$0.38974434 \dots$