Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} \frac{x (n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{{(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 1

Mueve el término $x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$x lim_{n \to 8} \frac{(n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{{(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$x \frac{lim_{n \to 8} (n + 1) {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$x \frac{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} {(2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 6

Mueve el exponente $2$ de ${(2 n + 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(lim_{n \to 8} 2 n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} n}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(2 n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de ${(2 n + 3)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} 2 n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} 2 n + lim_{n \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Paso 13

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Paso 14

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$x \frac{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Paso 15

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 lim_{n \to 8} n + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 lim_{n \to 8} n + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Paso 15.3

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot lim_{n \to 8} n}$

Paso 15.4

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$x \frac{(8 + 1) \cdot {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Suma $8$ y $1$ .

$x \frac{9 {(2 \cdot 8 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Paso 16.1.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$x \frac{9 {(16 + 1)}^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Paso 16.1.3

Suma $16$ y $1$ .

$x \frac{9 \cdot 17^{2}}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Paso 16.1.4

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{{(2 \cdot 8 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Paso 16.2

Simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{{(16 + 3)}^{2} \cdot 8}$

Paso 16.2.2

Suma $16$ y $3$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{19^{2} \cdot 8}$

Paso 16.2.3

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$x \frac{9 \cdot 289}{361 \cdot 8}$

Paso 16.3

Multiplica $9$ por $289$ .

$x \frac{2601}{361 \cdot 8}$

Paso 16.4

Multiplica $361$ por $8$ .

$x \frac{2601}{2888}$

Paso 16.5

Combina $x$ y $\frac{2601}{2888}$ .

$\frac{x \cdot 2601}{2888}$

Paso 16.6

Mueve $2601$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2601 x}{2888}$