Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} 2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{4 n^{2}})$

Paso 1

Mueve el término $2592$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$2592 lim_{n \to 8} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{4 n^{2}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$2592 (lim_{n \to 8} \frac{1}{4} + lim_{n \to 8} \frac{1}{2 n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Paso 3

Evalúa el límite de $\frac{1}{4}$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + lim_{n \to 8} \frac{1}{2 n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} lim_{n \to 8} \frac{1}{n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Paso 7

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} lim_{n \to 8} \frac{1}{n^{2}})$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n^{2}})$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n^{2}})$

Paso 10

Mueve el exponente $2$ de $n^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}})$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}})$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Paso 12.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Paso 12.1.1.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Paso 12.1.2

Combinar.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 8^{2}})$

Paso 12.1.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4 \cdot 8^{2}})$

Paso 12.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 8^{2}})$

Paso 12.1.4.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}})$

Paso 12.1.4.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{2}$ .

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Paso 12.1.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}})$

Paso 12.1.4.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{6}})$

Paso 12.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2 + 6}})$

Paso 12.1.4.5

Suma $2$ y $6$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{8}})$

Paso 12.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Paso 12.2

Obtén el denominador común

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Paso 12.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$2592 (\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Paso 12.2.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Paso 12.2.3

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{256})$

Paso 12.2.4

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{256})$

Paso 12.2.5

Multiplica $4$ por $64$ .

$2592 (\frac{64}{256} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{256})$

Paso 12.2.6

Multiplica $16$ por $16$ .

$2592 (\frac{64}{256} + \frac{16}{256} + \frac{1}{256})$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2592 \frac{64 + 16 + 1}{256}$

Paso 12.4

Suma $64$ y $16$ .

$2592 \frac{80 + 1}{256}$

Paso 12.5

Suma $80$ y $1$ .

$2592 (\frac{81}{256})$

Paso 12.6

Cancela el factor común de $32$ .

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Paso 12.6.1

Factoriza $32$ de $2592$ .

$32 (81) \frac{81}{256}$

Paso 12.6.2

Factoriza $32$ de $256$ .

$32 \cdot 81 \frac{81}{32 \cdot 8}$

Paso 12.6.3

Cancela el factor común.

$32 \cdot 81 \frac{81}{32 \cdot 8}$

Paso 12.6.4

Reescribe la expresión.

$81 (\frac{81}{8})$

Paso 12.7

Combina $81$ y $\frac{81}{8}$ .

$\frac{81 \cdot 81}{8}$

Paso 12.8

Multiplica $81$ por $81$ .

$\frac{6561}{8}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{6561}{8}$

Forma decimal:

$820.125$