Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Paso 1.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Paso 1.1.3

A medida que $n$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Paso 1.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{n}$ como $n^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

Paso 1.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 1.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Paso 1.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Paso 1.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Paso 1.3.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

Paso 1.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 1.3.10

Simplifica.

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Paso 1.3.10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.10.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.5

Reescribe $n^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{n}$ .

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

Paso 1.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

Paso 2

Como la función $\sqrt{n}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $2$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $2$ eliminado.

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

Paso 2.2

A medida que $n$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\infty$