Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 3

Mueve el exponente $\frac{5}{3}$ de $x^{\frac{5}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 4

Mueve el exponente $\frac{1}{3}$ de $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 2^{5} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{2 \cdot 32 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.5

Multiplica $2$ por $32$ .

$\frac{64 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.6

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{64 - {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{64 - 2^{1} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.9

Evalúa el exponente.

$\frac{64 - 1 \cdot 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{64 - 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.11

Resta $2$ de $64$ .

$\frac{62 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.1.12

Suma $62$ y $7$ .

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ por $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ .

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ por $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{(x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}) (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}$

Paso 7.4

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + x^{\frac{8}{5}} \cdot 3 - x^{\frac{21}{10}} + 3 x^{\frac{8}{5}} + 9 - 3 \sqrt{x} + x^{\frac{21}{10}} + \sqrt{x} \cdot 3 - {\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 7.5

Simplifica.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + 6 x^{\frac{8}{5}} + 9 - x}$

Paso 7.6

Reordena los términos.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- x + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Paso 7.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Paso 7.8

Factoriza $- 1$ de $6 x^{\frac{8}{5}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Paso 7.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}})$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Paso 7.10

Factoriza $- 1$ de $x^{\frac{16}{5}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

Paso 7.11

Factoriza $- 1$ de $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}})$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

Paso 7.12

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)}$

Paso 7.13

Factoriza $- 1$ de $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

Paso 7.14

Reescribe $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ como $- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

Paso 7.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9}$