Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} - x$

Paso 1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} - x$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 2 x$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x \cdot x - 2 x}} - x$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2}} - x$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}} - x$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}} - x$

Paso 2.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{\sqrt{x (x - 2)} \sqrt{x (x - 2)}} - x$

Paso 2.1.3.2

Eleva $\sqrt{x (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1} \sqrt{x (x - 2)}} - x$

Paso 2.1.3.3

Eleva $\sqrt{x (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1} {\sqrt{x (x - 2)}}^{1}} - x$

Paso 2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{1 + 1}} - x$

Paso 2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{\sqrt{x (x - 2)}}^{2}} - x$

Paso 2.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{x (x - 2)}}^{2}$ como $x (x - 2)$ .

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Paso 2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x (x - 2)}$ como ${(x (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{({(x (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - x$

Paso 2.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - x$

Paso 2.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} - x$

Paso 2.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{\frac{2}{2}}} - x$

Paso 2.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{{(x (x - 2))}^{1}} - x$

Paso 2.1.3.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} - x$

Paso 2.2

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} - x \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$

Paso 2.3

Combina $- x$ y $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)}}{x (x - 2)} + \frac{- x (x (x - 2))}{x (x - 2)}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x (x (x - 2))}{x (x - 2)}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x \cdot x) (x - 2)}{x (x - 2)}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{2} (x - 2)}{x (x - 2)}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{2} x - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Paso 2.5.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.5.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Paso 2.5.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Paso 2.5.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{3} - x^{2} \cdot - 2}{x (x - 2)}$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{x (x - 2)} - x^{3} + 2 x^{2}}{x (x - 2)}$