Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 21 x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 21 x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 4

Mueve el término $21$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 5

Evalúa el límite de $45$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{3} + 3^{2} - 21 lim_{x \to 3} x + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{3} + 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{27 + 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 7.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{27 + 9 - 21 \cdot 3 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 21$ por $3$ .

$\frac{27 + 9 - 63 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 7.1.4

Suma $27$ y $9$ .

$\frac{36 - 63 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 7.1.5

Resta $63$ de $36$ .

$\frac{- 27 + 45}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 7.1.6

Suma $- 27$ y $45$ .

$\frac{18}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ .

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Paso 7.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 7.2.1.2

Factoriza $x$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + x (6 x) + 9 x}$

Paso 7.2.1.3

Factoriza $x$ de $9 x$ .

$\frac{18}{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9}$

Paso 7.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9}$

Paso 7.2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x + 9)}$

Paso 7.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{18}{x (x^{2} + 6 x + 3^{2})}$

Paso 7.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 7.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{18}{x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Paso 7.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{18}{x {(x + 3)}^{2}}$