Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Paso 1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $\sqrt{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Paso 3.2

Expande $(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.3

Combina los términos opuestos en $\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 3.3.1

Reordena los factores en los términos $\sqrt{x} \sqrt{2}$ y $- \sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.3.2

Resta $\sqrt{2} \sqrt{x}$ de $\sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $\sqrt{x} \sqrt{x}$ y $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Paso 3.4.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{x^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.2.5

Simplifica.

$\frac{0}{x - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Paso 3.4.3.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 3.4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 3.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.4.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{x - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{x - 2^{1}}$

Paso 3.4.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{0}{x - 1 \cdot 2}$

Paso 3.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{x - 2}$

Paso 3.5

Divide $0$ por $x - 2$ .

$0$