Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + 15 x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 4

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $5$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 25 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 7.1.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$\frac{50 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 7.1.3

Multiplica $15$ por $5$ .

$\frac{50 + 75 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 7.1.4

Suma $50$ y $75$ .

$\frac{125 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 7.1.5

Suma $125$ y $25$ .

$\frac{150}{5 - 4 x - x^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Reescribe $5$ como $9$ más $- 4$

$\frac{150}{9 - 4 - 4 x - x^{2}}$

Paso 7.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 4 x + x^{2})}$

Paso 7.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

Paso 7.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2})}$

Paso 7.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$\frac{150}{9 - {(2 + x)}^{2}}$

Paso 7.2.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{150}{3^{2} - {(2 + x)}^{2}}$

Paso 7.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = 2 + x$ .

$\frac{150}{(3 + 2 + x) (3 - (2 + x))}$

Paso 7.2.5

Simplifica.

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Paso 7.2.5.1

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{150}{(5 + x) (3 - (2 + x))}$

Paso 7.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 1 \cdot 2 - x)}$

Paso 7.2.5.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 2 - x)}$

Paso 7.2.5.4

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{150}{(5 + x) (1 - x)}$