Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.4

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Multiplica $2$ por $2^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $2$ por $2^{3}$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2^{1 + 3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.1.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{\sqrt{2^{4} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.3.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 3.3.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Paso 3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 3.3.6

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ como $x^{2} + 1$ .

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Paso 3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 3.3.6.5

Simplifica.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 \sqrt{(x^{2} + 1) \cdot 5}}{x^{2} + 1}$

Paso 3.5

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \sqrt{5 (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}$