Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 2} (\frac{1}{x}) - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Paso 1.4

Evalúa el límite de $\frac{1}{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})}{2 (x^{3} - 8)}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\frac{1 + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 1}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Paso 3.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 8$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{0}{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 8}$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 8$ .

$\frac{0}{2 (x^{3}) + 2 (- 8)}$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{3}) + 2 (- 8)$ .

$\frac{0}{2 (x^{3} - 8)}$

Paso 3.5.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{0}{2 (x^{3} - 2^{3})}$

Paso 3.5.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Paso 3.5.4

Simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2}))}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

$\frac{0}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$\frac{2 (0)}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 3.7

Divide $0$ por $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$0$