Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Paso 1.2

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Paso 3.1.3

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{0}{2 x^{2} - 8 x + 8}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{0}{2 (x^{2}) - 8 x + 8}$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{0}{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{0}{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x + 4)}$

Paso 3.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Paso 3.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 3.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{0}{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 3.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{0}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (0)}{2 ({(x - 2)}^{2})}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0}{2 {(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Divide $0$ por ${(x - 2)}^{2}$ .

$0$