Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{1 + x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} 1 + x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 1} x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Paso 1.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt[3]{1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 1^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 1}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Paso 3.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Paso 3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Paso 3.4.2

Eleva $\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{1} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Paso 3.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{3}}$

Paso 3.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{3}$ como $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

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Paso 3.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$ como ${((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{({((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{1}}$

Paso 3.4.5.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Paso 3.5.2

Aplica la regla del producto a $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Paso 3.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt[3]{2 {(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$